三角関数加法定理(2) 教科書的な証明

問題再掲です。

(1) 一般角$\theta$に対して$\sin\theta$, $\cos\theta$の定義を述べよ。
(2) (1)で述べた定義に基づき、一般角$\alpha$, $\beta$に対して
\begin{eqnarray}
\sin(\alpha + \beta) &&= \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\
\cos(\alpha + \beta) &&= \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\cos\beta
\end{eqnarray}

を証明せよ。

今回は教科書に書いてあるような証明です。

まずは、(1)に対して解答を与えます。

高校の教科書のように、斜辺分のなんとか、から始めるのはちょっとやめて 

以下のように単位円上の座標で定義を与えてみます。

 教科書的な方法は、余弦定理と三角関数の性質を用いるものとなります。

まずは、$P(\cos\alpha, \sin\alpha), Q(\cos\beta, \sin\beta)$として

$\triangle OPQ$にの余弦定理を書くこと

 $-\theta$のとき、$\frac{\pi}{2}$のときの性質を書いておけば完璧です。

 $-\theta$のとき、$\frac{\pi}{2}$のときの性質は、受験生にとっては自明かもしれないので上記のように書けない人はたくさんいただろうし、書かなくても減点はされなかったかもしれません。