恒等式の問題(3) 係数比較法の正しさ
問題再掲です。
以下の問題の解法をいろいろ考えてみようというやつの第3弾です。
問題
$$
x^3=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d
$$
が$x$に関する恒等式となるように定数$a,b,c,d$を求めよ。
さてさて、次の解法に行く前に、ちょっと立ち止まって、
係数比較法に関して考察してみます。
係数比較法は正しいのか？
係数比較法は正しいでしょうか？
つまり、
どんな数を代入しても正しい等式は係数がすべて一致する
という主張は正しいですか？
教科書は、ほとんど当たり前のように扱っています。
この記事を書くためにyoutubeとか見ましたけど、
この事実を証明しているものはありませんでした。
証明できますか？
まずは、示すべきことをはっきりと書いてみましょう。
定理1
$P(x)=\sum_{i=0}^m p_ix^i$, $Q(x)=\sum_{j=0}^n q_jx^j$とおくとき、 $P(x)=Q(x)$が恒等式（任意の実数について$P(x)=Q(x)$が成立する）ならば、$m=n$が成立して、任意の $i=0$,$1$, ,$m$ に対して $p_i=q_i$が成立する。
定理のように主張（証明すべき事）をちゃんと書けるということは、それだけでとても数学できるということになります。多分、高校生は書けないでしょう。普通の理系の大学生でも難しいかもしれません。
さて、もう少し簡単にならないだろうかと考えます。
$2$次式で考えてみましょう。
定理は以下のように書けます。
$$p_2x^2 + p_1x + p_0 = q_2x^2 + q_1x+q_0$$
が任意の$x$について成立するならば、$p_2=q_2, p_1=q_1, p_0=q_0$
が成立する。
変形してみましょう。
$$(p_2-q_2)x^2+(p_1-q_1)x+(p_0-q_0)=0$$
が任意の$x$について成立するならば、$p_2-q_2=p_1-q_1=p_0-q_0=0$
が成立する。
これは、以下と同じことを言っています。
$$a_2x^2 + a_1x+a_0=0$$
が任意の$x$について成立するならば$a_2=a_1=a_0=0$
が成立する。
今は、$2$次式でやりましたが、本質的に次数を使っていません。
上記の定理1は以下と同じです。
定理1（言い換え）
$S(x)=\sum_{i=0}^m a_ix^i$とおくとき、
$$S(x)=0$$が恒等式（任意の実数について$S(x)=0$が成立する）ならば、任意の $i=0$,$1$, ,$m$ に対して $a_i=0$が成立する。
だんだん、間延びしてきた感じがします。
一気に証明を書いてみましょうか。。
最後のはVandermondeの行列式と呼ばれているものです。さぁ、あと一息。
これで、証明が完了しました。
こんなに難しく考えないとできないのか？。。多分、ないと思います。
（あったら教えてください）
ということで、何を示せたかというと、
恒等式(任意の数を入れて正しい）と係数比較は同値
です。
結局のところ$0=0$という自明な式しか許さない
という事実を突きつけます。
ここから、式をものとして扱う概念の萌芽を
読み取ることができます。
高校のこの段階では、式は変数を代入してナンボの世界です。
ですが、この辺りから、多項式をモノとして扱いだします。
操作をモノとして扱う現代数学の考え方を潜ませているのです。
ことが分かりました。
