恒等式の問題(2) 係数比較法

問題再掲です。

以下の問題の解法をいろいろ考えてみようというやつの第2弾です。

 

 

問題

$$
x^3=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d
$$
が$x$に関する恒等式となるように定数$a,b,c,d$を求めよ。

1回目では、代入法をやりました。

次に紹介する方法は、

教科書に次に載っている方法、それは係数比較法と呼ばれているものです。

曰く、

恒等式においては、各係数が一致する

この主張は、

$x^3$の係数、$x^2$の係数、$x$の係数、定数がすべて一致する

です。

これを使って解いてみましょう。

右辺を展開して係数比較。そこから出てきた式で連立方程式を解いて答えを導きます。

解法2 係数比較法その１

係数比較の解法

若干ですが、代入法よりも解き方が易しかったかもしれないです。

余談ですが、

実は、係数比較法には次のようにやるともっと簡単になります。

 $y=x-1$とおきます。つまり$x=y+1$を元の式に代入してみましょう。

そいて左辺を展開して係数比較です。

解法3 係数比較法その２

係数比較法２

さて、おそらく、ここまでが教科書に書いてある方法です。

これ以上、何をやることあるかどうか、というところですが、

まぁ、ちょっと考えていきます。