恒等式の問題(4) 微分法の解法
問題再掲です。
以下の問題の解法をいろいろ考えてみようというやつの第４弾です。
問題
$$
x^3=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d
$$
が$x$に関する恒等式となるように定数$a,b,c,d$を求めよ。
前回は、説明がうまくできたかどうか不安です。。。。
今日は微分法による解法を考えます。
$x=1$を代入すれば$d$が出る。じゃぁ、微分してまた$x=1$を入れれば
$c$が出る、というアイデアです。
これって何度も微分して$x=1$を代入しているだけです。
$f(1), f'(1), f''(1), f'''(1)$を求めているだけですね。
これはTaylor展開を思い出しませんか？
$x=1$のTaylor展開を書いてみましょう。
$$f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3+\cdots$$
が成立します。
これをダイレクトに使った解法もできます。
$f(x)=x^3$と置くんですが、$3$次より大きい項は$0$になるので
以下のように簡単です。
今回の解法はかなり簡単でした。
気にしないでください。
